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- 其他
、
．若对于
轴上的任意
个不同的点
，总存在两个不同的点
，使得
，则
，满足
.
，设其十进制表达为
.证明：存在
，使得
的十进制表达的前
位为
.
的子集
，其中，
。若
中存在
个集合满足：任意七个的交集非空，求
个连续的正整数中,使得必有一数其各位数字之和是7的倍数成立的最小的正整数
______.
中，至少有一个数能被
整除，其中，
，
.给定正整数
.将三种水果分装在
个箱子中.试求最小的正整数
，使得无论水果如何分布，总可选出个箱子，它们所装的三种水果都不少于各自总量的一半.
.将三种水果分装在个箱子中.试求最小的正整数，使得无论水果如何分布，总可选出个箱子，它们所装的三种水果都不少于各自总量的一半.
满足性质：
都是整数，并且
、
、
．证明：集合
．
名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同.试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.已知有限集合
，定义如下操作过程
：从
中任取两个元素
、
，由中除了
、以外的元素构成的集合记为
；①若
，则令
；②若
，则
；这样得到新集合
，例如集合
经过一次操作后得到的集合可能是
也可能得到
等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作
，……，如此经过
次操作后得到的新集合记作
，设
，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合
只有一个元素时，则所有可能的集合为______．
，定义如下操作过程：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集合为______．