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设
，
为三维空间中
个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上，
，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上，
名学生中，已知任意三人中有两人互相认识，任意四人中有两人互相不认识，则圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄点个数的最大值.
圆周上有
个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数
,第次染色后按逆时针方向间隔个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第
次染色).
(1)对给定正整数
,是否存在正整数
,使次染色后个点均为白色？
(2)对给定正整数,是否存在正整数,使次染色后个点均为黑色？
个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数,第次染色后按逆时针方向间隔个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第次染色).(1)对给定正整数
,是否存在正整数,使次染色后个点均为白色？(2)对给定正整数
,是否存在正整数,使次染色后个点均为黑色？在平面直角坐标系中，有互不重合的水平直线和垂直直线共25条，将其染为黑、红两种颜色之一.再将黑色水平直线与黑色垂直直线的交点染为黑色；红色水平直线与红色垂直直线的交点染为红色；黑色水平直线与红色垂直直线的交点染为黄色；红色水平直线与黑色垂直直线的交点染为绿色.若黑、红点个数之比为
，则黄、绿点个数之比为______.
，则黄、绿点个数之比为______.设
、
为平面上两个点集，满足
，
，且任意三点不共线.在集合和间各连若干条线段，每条线段均一个端点在集合中，另一个端点在集合中，且任意两点间至多连一条线段，记所有线段构成的集合为
.若集合满足对于集合或中任意一点均至少连出
条线段，则称集合是“一好的”.试确定
的最大值，使得去掉任意一条线段，集合均不是一好的.
、为平面上两个点集，满足，，且任意三点不共线.在集合和间各连若干条线段，每条线段均一个端点在集合中，另一个端点在集合中，且任意两点间至多连一条线段，记所有线段构成的集合为.若集合满足对于集合或中任意一点均至少连出条线段，则称集合是“一好的”.试确定的最大值，使得去掉任意一条线段，集合均不是一好的.（1）.公路上
、
两镇相距5公里，、往外各有两条叉路成
形状，计划在每条叉路上各建一加油站，要求每个站到、镇及其他站（沿公路进过、镇）距离互不相同，且距离均为整数公里，最长不超过15公里，此计划能否实现？
（2）.若、向外各有3条叉路，欲建六个加油站，依然要求站与镇，站与站之间距离互不相同且为整数公路，最长者不超过28公里，能否实现？为什么？
、两镇相距5公里，、往外各有两条叉路成形状，计划在每条叉路上各建一加油站，要求每个站到、镇及其他站（沿公路进过、镇）距离互不相同，且距离均为整数公里，最长不超过15公里，此计划能否实现？（2）.若
、向外各有3条叉路，欲建六个加油站，依然要求站与镇，站与站之间距离互不相同且为整数公路，最长者不超过28公里，能否实现？为什么？某歌舞团有
名演员，他们编排了一些节目，每个节目都由四名演员同台表演．在一次演出中，他们发现：能适当安排若干个节目，使团中每两名演员都恰有一次在这次演出中同台表演。求
的最小值。
名演员，他们编排了一些节目，每个节目都由四名演员同台表演．在一次演出中，他们发现：能适当安排若干个节目，使团中每两名演员都恰有一次在这次演出中同台表演。求的最小值。设
是平面上由
个点组成的点集.若在中任取四个点，均至少有一个点与其余三个点相连，则下面结论中正确的是______.
①中不存在与其他所有点相连的点；
②中至少有一个点与其余所有的点均相连；
③中至多有两个点与其余的点不相连；
④中至多有两个点与其余所有的点均相连.
是平面上由个点组成的点集.若在中任取四个点，均至少有一个点与其余三个点相连，则下面结论中正确的是______.①
中不存在与其他所有点相连的点；②
中至少有一个点与其余所有的点均相连；③
中至多有两个点与其余的点不相连；④
中至多有两个点与其余所有的点均相连.有2013位来自不同国家的代表参加一个会议，每位代表都懂得若干种语言，已知其中任意四位代表之间都可进行交谈而不需要此四位代表以外的其他人帮助，即此四人中的任意两人都能讲同一种语言而实现直接沟通，或者通过第三个人的翻译实现间接沟通，或者通过他们各自的翻译能讲的同一种语言实现低效的间接沟通，证明：可以将所有代表分配住进671个房间，每个房间住3人，使得每个房间的3人都可以交谈．