- 数与式
- 方程与不等式
- 函数
- 图形的性质
- 用勾股定理解三角形
- 已知两点坐标，用勾股定理求两点距离
- 勾股树（数）问题
- 以直角三角形三边为边长的图形面积
- 勾股定理与网格问题
- 勾股定理与折叠问题
- 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
- 利用勾股定理证明线段平方关系
- + 勾股定理的证明方法
- 以弦图为背景的计算题
- 用勾股定理构造图形解决问题
- 勾股定理与无理数
- 图形的变化
- 统计与概率
- 观察、猜想与证明
- 实践与应用（暂存）
在平行四边形
的对角线
上，过点
分别作
、
，连接
，
．
是菱形；
，
，
，求勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在
多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以
的三边为边长，向外作正方形
、
、
.
（1）连接
、
，求证：
（2）过点
作
的垂线，交于点
，交
于点
.
①试说明四边形
与正方形的面积相等；
②请直接写出图中与正方形的面积相等的四边形.
（3）由第（2）题可得：正方形的面积
正方形的面积
_______________的面积，即在中，
__________________.
多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以的三边为边长，向外作正方形、、.（1）连接
、，求证：（2）过点
作的垂线，交于点，交于点.①试说明四边形
与正方形的面积相等；②请直接写出图中与正方形
的面积相等的四边形.（3）由第（2）题可得：正方形
的面积正方形的面积_______________的面积，即在中，__________________.我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是
和
，斜边长度是
，那么
。
（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝ ；若
，
，则直角三角形的面积是 ______ 。
（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明。
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？
和，斜边长度是，那么。（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝ ；若
，，则直角三角形的面积是 ______ 。（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明
。（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？
如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且点A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）旋转中心的坐标是________，旋转角的度数是________．
（2
）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形．
（3）利用变换前后所形成的图案，可以证明的定理是 ．
（1）旋转中心的坐标是________，旋转角的度数是________．
（2
）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形．（3）利用变换前后所形成的图案，可以证明的定理是 ．
如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
【小题1】请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
【小题2】以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
【小题3】设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
【小题1】请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
【小题2】以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
【小题3】设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；在推得这个公式的过程中，主要运用了（）
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．求证：∠ACE=90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
图1 图2
| A．分类讨论思想 | B．整体思想 | C．数形结合思想 | D．转化思想 |
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．求证：∠ACE=90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．
图1 图2
阅读材料：
（1）对于任意两个数
的大小比较，有下面的方法：
当
时，一定有
；
当
时，一定有
；
当
时，一定有
．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数
的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵
，
∴（
）与（
）的符号相同
当＞0时，
＞0，得
当=0时，=0，得
当＜0时，＜0，得
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1= （用x、y的式子表示）
W2= （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
（1）对于任意两个数
的大小比较，有下面的方法：当
时，一定有；当
时，一定有；当
时，一定有．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数
的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵
，∴（
）与（）的符号相同当
＞0时，＞0，得当
=0时，=0，得当
＜0时，＜0，得解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1= （用x、y的式子表示）
W2= （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）
| A．1:5 | B．1:25 | C．5:1 | D．25:1 |
在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图2是由图1放入矩形内得到的，
，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为__________.
，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为__________.右图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理.