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已知双曲线
的两条渐近线分别为
.
（1）求双曲线
的离心率；（2）如图，
为坐标原点，动直线
分别交直线
于
两点（分别在第一，四象限），且
的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.已知双曲线
：
，设
是双曲线上任意一点，
为坐标原点，
为双曲线右焦点，
，
为双曲线的左右顶点.
（1）已知：无论点在右支的何处，总有
，求
的取值范围；
（2）设过右焦点的直线
交双曲线于
，
两点，若存在直线，使得
为等边三角形，求
的值；
（3）若
，
，动点
在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线
和直线
与直线：
分别相交于点
和
，试问：是否存在定点
，使得
恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.
：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，，为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点
在右支的何处，总有，求的取值范围；（2）设过右焦点
的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值；（3）若
，，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.
与双曲线
相交于不同的两点A,B.
的取值范围；对于曲线
所在的平面上的定点
，若存在以点为顶点的角
，使得
对于曲线上的任意两个不同的点
恒成立，则称角
为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的”点确视角”.已知曲线
和圆
是
轴上一点
（1）对于坐标原点
，写出曲线的“点确视角”的大小；
（2）若
在曲线上，求
的最小值；
（3）若曲线和圆
的“点确视角”相等，求点坐标.
所在的平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的”点确视角”.已知曲线和圆是轴上一点（1）对于坐标原点
，写出曲线的“点确视角”的大小；（2）若
在曲线上，求的最小值；（3）若曲线
和圆的“点确视角”相等，求点坐标.已知椭圆
的焦点和上顶点分别为
，定义：
为椭圆
的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点
是椭圆
的一个焦点，且
上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆
与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.
（2）已知点
是椭圆上的任意一点，若点
是直线
与抛物线
异于原点的交点，证明：点一定在双曲线
上.
（3）已知直线
，与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆为
，是否存在正方形
，（设其面积为
），使得
在直线
上，
在曲线上？若存在，求出函数
的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4（1）若椭圆
与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.（2）已知点
是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.（3）已知直线
，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.如图，椭圆
的左、右顶点分别为A、B，双曲线
以A、B为顶点，焦距为
，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为
为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求点M的纵坐标
的取值范围；
(3)是否存在定直线
使得直线BP与直线OM关于直线
对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.
的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为为坐标原点.(1)求双曲线
的方程；(2)求点M的纵坐标
的取值范围；(3)是否存在定直线
使得直线BP与直线OM关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.已知
，点
满足
，记点的轨迹为
.斜率为
的直线
过点
，且与轨迹相交于
两点.
（1）求轨迹的方程；
（2）求斜率的取值范围；
（3）在
轴上是否存在定点
，使得无论直线绕点怎样转动，总有
成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.（1）求轨迹
的方程；（2）求斜率
的取值范围；（3）在
轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.已知双曲线
的左右顶点分别为
.直线
和两条渐近线交于点
,点
在第一象限且
,
是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得
为直角三角形？若存在,求出点P的个数；
(3)直线
与直线
分别交于点
,证明：以
为直径的圆必过定点.
的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点P使得
为直角三角形？若存在,求出点P的个数；(3)直线
与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.
的内切圆与三边
的切点分别为
,已知
，内切圆圆心
,设点A的轨迹为R.
（1）求R的方程；
（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使
恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.如图:双曲线
:
的左、右焦点分别为
,
,过作直线
交
轴于点
.
(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;
(2)当直线的斜率为
时,在的右支上是否存在点
,满足
？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若直线与交于不同两点
、
,且上存在一点
,满足
(其中
为坐标原点),求直线的方程.
:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.(1)当直线
平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;(2)当直线
的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;(3)若直线
与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.