- 集合与常用逻辑用语
- 函数与导数
- 三角函数与解三角形
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- 数列
- 不等式
- 空间向量与立体几何
- 平面解析几何
- 计数原理与概率统计
- 随机变量
- 离散型随机变量
- + 离散型随机变量的分布列
- 写出简单离散型随机变量分布列
- 利用随机变量分布列的性质解题
- 由随机变量的分布列求概率
- 推理与证明
- 算法与框图
- 复数
- 几何证明选讲
- 不等式选讲
- 矩阵与变换
- 初中衔接知识点
- 竞赛知识点
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在
岁（含
岁和
岁）之间的
人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示．若规定年龄分布在
岁（含
岁和岁）为“老年人”．
（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的人的平均年龄；
（2）将上述人口分布的频率视为该城市在年龄段的人口分布的概率．从该城市年龄段市民中随机抽取
人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望．
岁（含岁和岁）之间的人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如下图所示．若规定年龄分布在岁（含岁和岁）为“老年人”．（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的
人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在
年龄段的人口分布的概率．从该城市年龄段市民中随机抽取人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．某学校高一年级在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动，高一（1）班学生50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示．
（Ⅰ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动的次数不相等的概率；
（Ⅱ）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差对的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
；
（Ⅲ）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之和，记“函数
在区间（3，5）上只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．
（Ⅰ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动的次数不相等的概率；
（Ⅱ）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差对的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）从该班中任意选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．（2015秋•友谊县校级期末）若某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且E（ξ）=1.5，则a﹣b的值为 ．
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.1 | a | b | 0.1 |
甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是
和
，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是
．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．
（1）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；
（2）
表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求的分布列和数学期望．
和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．（1）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；
（2）
表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求的分布列和数学期望．某卫视的大型娱乐节目现场，所有参加的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为
，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”．
（1）求某节目的投票结果获“通过”的概率；
（2）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为
，求的分布列和数学期望．
，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”．（1）求某节目的投票结果获“通过”的概率；
（2）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为
，求的分布列和数学期望．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为
，第二道工序检查合格的概率为
，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．
（Ⅰ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；
（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利
万元，不合格则要亏损
万元，记该厂每月的赢利额为
，求的分布列和每月的盈利期望．
，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．（Ⅰ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；
（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利
万元，不合格则要亏损万元，记该厂每月的赢利额为，求的分布列和每月的盈利期望．某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类可得：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．
（1）能否在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为
，求的分布列和期望
．
附：
（1）能否在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为
，求的分布列和期望．附：
 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12
名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（1）写出这组数据的众数和中位数；
（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健
康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（3）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列
及期望．
名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（1）写出这组数据的众数和中位数；
（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健
康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（3）从抽取的12人中随机选取3人，记
表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望．
某公司因发展需要，现分别对A，B，C三个项目进行竞标，现需对三个项目竞标的资料进行审核，每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核. 已知该公司在A，B，C 三个项目上首次资料审核通过的概率分别为
，若第一次没有通过，经增补资料， 第二次A，B，C三个项目资料审核通过的概率分别为
，三个项目竞标相互独立.
（1）求该公司在首次竞标中，至少两个项目资料审核通过的概率；
（2）由于资金限制，该公司目前只能对三个项目中的一个进行投资，若A，B，C三个项目竞标成功，投资收益分别为220万元，300万元和270万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元，21万元，6万元的亏损，假定资料审核通过即竞标成功，若你是公司经理，则最应在哪个项目竞标上做充分准备？并说明理由.
，若第一次没有通过，经增补资料， 第二次A，B，C三个项目资料审核通过的概率分别为，三个项目竞标相互独立.（1）求该公司在首次竞标中，至少两个项目资料审核通过的概率；
（2）由于资金限制，该公司目前只能对三个项目中的一个进行投资，若A，B，C三个项目竞标成功，投资收益分别为220万元，300万元和270万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元，21万元，6万元的亏损，假定资料审核通过即竞标成功，若你是公司经理，则最应在哪个项目竞标上做充分准备？并说明理由.
已知随机变量
的取值为不大于
的非负整数值，它的分布列为：
生成的函数
，令
．
（I）若由生成的函数
，求
的值；
（II）求证：随机变量的数学期望
， 的方差
；
（
）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为
，求
的值．
的取值为不大于的非负整数值，它的分布列为： | 0 | 1 | 2 |  | n |
 |  |  |  | |  |
其中
（
）满足：
，且
．
生成的函数，令．（I）若由
生成的函数，求的值；（II）求证：随机变量
的数学期望， 的方差；（
）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量
表示两次掷出的点数之和，此时由生成的函数记为，求的值．