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黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作：
（i）将某个数重写一遍；
（ii ）将两数相加，写上和数．
试证明：
①119这个数永远不会出现在黑板上；
②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．
（i）将某个数重写一遍；
（ii ）将两数相加，写上和数．
试证明：
①119这个数永远不会出现在黑板上；
②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．
，将其各位数字之和记为
，各为数字之积记为
。若
成立，就称
表示不超过实数x的最大整数.则
__________。
，使得对任意正整数n，均有
，其中，
表示正整数a、b的最大公约数，
表示不超过实数x的最大整数.
首项为2013,末项为1,且对任意的
均有
.则满足条件的数列
个不同的数,组成
个三元数组
.若
这
、
、
，使得
是整数。
,使得
.设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问：共有多少种放法？
，
表示不超过
的最大整数，且
，则方程
（ ）