- 集合与常用逻辑用语
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- + 写出简单离散型随机变量分布列
- 利用随机变量分布列的性质解题
- 由随机变量的分布列求概率
- 推理与证明
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- 几何证明选讲
- 不等式选讲
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- 初中衔接知识点
- 竞赛知识点
据调查显示，某高校
万男生的身高服从正态分布
，现从该校男生中随机抽取
名进行身高测量，将测量结果分成
组：
，
，
，
，
，
，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求这名男生中身高在
（含）以上的人数；
（Ⅱ）从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取
人，该人中身高排名（从高到低）在全校前
名的人数记为
，求的数学期望.
（附：参考数据：若服从正态分布
，则
，
，
.）
万男生的身高服从正态分布，现从该校男生中随机抽取名进行身高测量，将测量结果分成组：，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求这
名男生中身高在（含）以上的人数；（Ⅱ）从这
名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全校前名的人数记为，求的数学期望.（附：参考数据：若
服从正态分布，则，，.）某协会对
，
两家服务机构进行满意度调查，在，两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了
人，每人分别对这两家服务机构进行独立评分，满分均为
分.整理评分数据，将分数以
为组距分成
组：
，
，
，
，
，
，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：
定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：
（1）在抽样的人中，求对服务机构评价“满意度指数”为
的人数；
（2）从在，两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取
人进行调查，试估计对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；
（3）如果从，服务机构中选择一家服务机构，以满意度出发，你会选择哪一家？说明理由.
，两家服务机构进行满意度调查，在，两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了人，每人分别对这两家服务机构进行独立评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图： 定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：
| 分数 |  |  | |
| 满意度指数 | 0 | 1 | 2 |
（1）在抽样的
人中，求对服务机构评价“满意度指数”为的人数；（2）从在
，两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取人进行调查，试估计对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从
，服务机构中选择一家服务机构，以满意度出发，你会选择哪一家？说明理由.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.
（1）经过数据分析，一天内平均气温
与该店外卖订单数
（份）成线性相关关系，试建立关于
的回归方程，并预测气温为
时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；
（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于
，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为
，求的分布列与期望.
附注：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.
（1）经过数据分析，一天内平均气温
与该店外卖订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测气温为时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于
，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为，求的分布列与期望.附注：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.某大型商场去年国庆期间累计生成
万张购物单，从中随机抽出
张，对每单消费金额进行统计得到下表：
由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：
（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过
元的概率；
（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过
元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的
个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出
个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值
，当
时，消费者可分别获得价值
元、
元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.
万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：| 消费金额（单位：元） |  |  |  |  |  |
| 购物单张数 | 25 | 25 | 30 | | |
由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：
（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过
元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过
元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值，当时，消费者可分别获得价值元、元和元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.目前共享单车基本覆盖饶城市区，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占
，骑行过共享单车的人数中，有
是学生（含大中专、高职及中学生），若市区人口按40万计算，学生人数约为9.6万．
（1）任选出一名学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；
（2）随着单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，如表是本市某组织累计投放单车数量
与乱停乱放单车数量
之间关系图表：
计算关于的线性回归方程（其中
精确到
，
值保留三位有效数字），并预测当
时，单车乱停乱放的数量；
（3）已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准，在“大美上饶”活动中，检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量，
表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求的分布列和数学期望．
参考公式和数据：回归直线方程
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，
，
，骑行过共享单车的人数中，有是学生（含大中专、高职及中学生），若市区人口按40万计算，学生人数约为9.6万．（1）任选出一名学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；
（2）随着单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，如表是本市某组织累计投放单车数量
与乱停乱放单车数量之间关系图表：| 累计投放单车数量 | 100000 | 120000 | 150000 | 200000 | 230000 |
| 乱停乱放单车数量 | 1400 | 1700 | 2300 | 3000 | 3600 |
计算
关于的线性回归方程（其中精确到，值保留三位有效数字），并预测当时，单车乱停乱放的数量；（3）已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准，在“大美上饶”活动中，检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量，
表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求的分布列和数学期望．参考公式和数据：回归直线方程
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在
的概率为
.
（1）求
的值；
（2）若某大学
专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在
的人数为
，求的分布列及数学期望.
的概率为.（1）求
的值；（2）若某大学
专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为
等；分数在
内，记为
等；分数在
内，记为
等；60分以下，记为
等.同时认定
为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在
内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为
的所有数据茎叶图如图2所示.
（Ⅰ）求图1中
的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用
表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．
等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示. （Ⅰ）求图1中
的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校
等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．为增进市民的环保意识，某市有关部门面向全体市民进行了一次环保知识的微信问卷测试活动，每位市民仅有一次参与问卷测试机会．通过抽样，得到参与问卷测试的1000人的得分数据，制成频率分布直方图如图所示．
（1）估计成绩得分落在[86，100]中的概率．
（2）设这1000人得分的样本平均值为
．
（i）求（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（ii）有关部门为参与此次活动的市民赠送20元或10元的随机话费，每次获赠20元或10元的随机话费的概率分别为
和
．得分不低于的可获赠2次随机话费，得分低于的可获赠1次随机话费．求一位市民参与这次活动获赠话费
的平均估计值．
（1）估计成绩得分落在[86，100]中的概率．
（2）设这1000人得分的样本平均值为
．（i）求
（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（ii）有关部门为参与此次活动的市民赠送20元或10元的随机话费，每次获赠20元或10元的随机话费的概率分别为
和．得分不低于的可获赠2次随机话费，得分低于的可获赠1次随机话费．求一位市民参与这次活动获赠话费的平均估计值．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量
与尺寸
之间近似满足关系式
为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:
(I)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记
为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望;
(II)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表:
(i)根据所给统计量，求
关于
的回归方程;
(ii)已知优等品的收益
(单位:千元)与
的关系为
，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大? (精确到0.1)
附:对于样本
， 其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
与尺寸之间近似满足关系式为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:| 尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.367 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(I)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记
为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望;(II)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表:
 |  |  |  |
| 75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(i)根据所给统计量，求
关于的回归方程;(ii)已知优等品的收益
(单位:千元)与的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大? (精确到0.1)附:对于样本
， 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：
，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在
以上（包括）的只有两个人，且均在甲队.规定：跳高成绩在
以上（包括）定义为“优秀”.
（1）求甲，乙两队运动员的总人数
及乙队中成绩在
（单位：）内的运动人数
；
（2）在甲，乙两队所有成绩在
以上的运动员中随机选取
人，已知至少有
人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；
（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数
的分布列及期望.
，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在以上（包括）的只有两个人，且均在甲队.规定：跳高成绩在以上（包括）定义为“优秀”.（1）求甲，乙两队运动员的总人数
及乙队中成绩在（单位：）内的运动人数；（2）在甲，乙两队所有成绩在
以上的运动员中随机选取人，已知至少有人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取
人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望.