如图，已知点C为AB的中点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点O，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中，过点O作出AB的平行线；
（2）在图②中，过点C作出AE的平行线．
（1）在图①中，过点O作出AB的平行线；
（2）在图②中，过点C作出AE的平行线．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）
初步探究
（1）写出点B的坐标 ；
（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．
深入探究
（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论；
拓展应用
（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．
初步探究
（1）写出点B的坐标 ；
（2）点C在x轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP．
深入探究
（3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究点P在怎样的图形上运动，请直接写出结论；
拓展应用
（4）点C在x轴上移动过程中，当△POB为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标．
如图，已知△ABC 是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则 OE+OF 的值为____ .
如图，△ABC中，AB⊥BC，BF＝CF，∠C＝30°，D是AC的中点，E是CD的中点，连接BE，AF交于G，连接D
A． （1）若E到BC的距离为2，求AB的长； （2）证明：GD平分∠AGE； （3）猜想BG，FG，GD，AF的数量关系，并证明． |
如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点
A． （1）求证：AE＝3EB （2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE＋PF的最小值及此时BP的长； （3）在（2）的条件下，连接EF，当PE＋PF取最小值时，△PEF的面积是______. |
如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.
为等边三角形，
为
至
，使
，连接
，则
__________，
__________。
如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，点E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的结论有_____（请把正确结论的序号填在横线上）．