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- 离散型随机变量的均值
- 常用分布的均值
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- 离散型随机变量的方差与标准差
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- 竞赛知识点
心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附表及公式：
| | 立体几何题 | 代数题 | 总计 |
| 男同学 | 22 | 8 | 30 |
| 女同学 | 8 | 12 | 20 |
| 总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：
 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：
（1）求数学成绩
关于物理成绩
的线性回归方程
（
精确到
），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以
表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
（参数公式：
，
.）
参考数据：
，
.
| 编号 成绩 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 物理（） | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
| 数学（） | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
（1）求数学成绩
关于物理成绩的线性回归方程（精确到），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以
表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.（参数公式：
，.）参考数据：
，.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销售量
（单位：吨）和年利润
（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费
和年销售量
的数据作了初步统计，得到如下数据：
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
即
。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
（1）根据所给数据，求
关于
的回归方程；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间
内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为
，试求随机变量的分布列和期望。（其中
为自然对数的底数，
）
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：| 年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
| 年宣传费（万元） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 年销售量（吨） | 16．8 | 18．8 | 20．7 | 22．4 | 24．0 | 25．5 |
经电脑模拟，发现年宣传费
（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表： |  |  |  |
| 75．3 | 24．6 | 18．3 | 101．4 |
（1）根据所给数据，求
关于的回归方程；（2）规定当产品的年销售量
（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数，）附：对于一组数据
，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2016年双11期间,某购物平台的销售业
绩高达1207亿人民币。与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.
(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量
：
①求对商品和服务全好评的次数的分布列；
②求的数学期望和方差.
（
,其中
）
绩高达1207亿人民币。与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次.
(1)请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量
：①求对商品和服务全好评的次数
的分布列；②求
的数学期望和方差.（
,其中）| | 对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 |
| 对商品好评 | 140 | | |
| 对商品不满意 | | 10 | |
| 合计 | | | 200 |
近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的
列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？
(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量
，求的分布列和数学期望
.
附：
（其中
为样本容量）
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的
列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？| | 对服务满意 | 对服务不满意 | 合计 |
| 对商品满意 | 80 | | |
| 对商品不满意 | | | |
| 合计 | | | 200 |
(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量
，求的分布列和数学期望.附：
（其中为样本容量） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
甲乙两个班进行物理测试，其中女生
人，男生
人，从全部
人任取一人及格的概率为
，并且男生和女生不及格人数相等.
（1）完成如下
列联表
（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？
（3）从两个班有放回的任取
人，记抽取的人中不及格人数为
，求的数学期望和方差.
附：
.
人，男生人，从全部人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等.（1）完成如下
列联表| | 及格 | 不及格 | 合计 |
| 女 | | | |
| 男 | | | |
| 合计 | | | |
（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取
人，记抽取的人中不及格人数为，求的数学期望和方差.附：
. |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在
内，按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．
（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励
（单位：万元）与考核评分
的关系式为
（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；
（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机3家企业座谈环保经验，设
为所抽取的3家企业中考核评分在内的企业数，求随机变量的分布列和数学期望．
内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励
（单位：万元）与考核评分的关系式为（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机3家企业座谈环保经验，设
为所抽取的3家企业中考核评分在内的企业数，求随机变量的分布列和数学期望．以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：
（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率
，并确定第几周的命中频率最高；
（2）以（1）中的作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为
，求的数学期望；
（3）以（1）中的作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过
？（取
）
（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率
，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的
作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为，求的数学期望；（3）以（1）中的
作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过？（取）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在
为合格品，使用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出了该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）：
（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优质品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；
（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量
为抽出的优质品的个数，列出的分布列，并求出其数学期望．
为合格品，使用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出了该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）：（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优质品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；
（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量
为抽出的优质品的个数，列出的分布列，并求出其数学期望．某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记
为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记
为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.