如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PV⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为______ cm.
在△ABC中,AB=AC,点D为射线CB上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交直线AC于点F,连接C
| A． ⑴如图1,若∠BAC=60°,求证：△CEF是等边三角形. ⑵若∠BAC＜60°. ①如图2,当点D在线段CB上移动时，判断△CEF为等腰三角形并证明; ②当点D在线段CB的延长线上移动时,△CEF是什么三角形?请你在图3中画出相应的图形并直接写出结论(不必证明). |
如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为_____．
（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
，若衣架收拢时，
，则
、
的距离为_____
．
学习与探究：
在等边△ABC中，P是射线AB上的一点．
（1）探索实践：
如图1，P是边AB的中点，D是线段CP上的一个动点，以CD为边向右侧作等边△CDE，DE与BC交于点M，连结BE．
①求证：AD＝BE；
②连结BD，当DB+DM最小时，试在图2中确定D的位置，并说明理由；（要求用尺规作图，保留作图痕迹）
③在②的条件下，求△CME与△ACM的面积之比．
（2）思维拓展：
如图3，点P在边AB的延长线上，连接CP，点B关于直线CP的对称点为B'，连结AB'，CB'，AB'交BC于点N，交直线CP于点G，连结BG．请判断∠AGC与∠AGB的大小关系，并证明你的结论．
在等边△ABC中，P是射线AB上的一点．
（1）探索实践：
如图1，P是边AB的中点，D是线段CP上的一个动点，以CD为边向右侧作等边△CDE，DE与BC交于点M，连结BE．
①求证：AD＝BE；
②连结BD，当DB+DM最小时，试在图2中确定D的位置，并说明理由；（要求用尺规作图，保留作图痕迹）
③在②的条件下，求△CME与△ACM的面积之比．
（2）思维拓展：
如图3，点P在边AB的延长线上，连接CP，点B关于直线CP的对称点为B'，连结AB'，CB'，AB'交BC于点N，交直线CP于点G，连结BG．请判断∠AGC与∠AGB的大小关系，并证明你的结论．
如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是_____________．
中，沿图中虚线剪去
，则
_________.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°．过点B作DB⊥AB交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥AC交BA的延长线于点E，点F为AE的中点，连接CF．
（1）求证：△DBA≌△ECA；
（2）△CAF是等边三角形吗？为什么？
（1）求证：△DBA≌△ECA；
（2）△CAF是等边三角形吗？为什么？
在边长为3的等边△ABC的AB边上任取一点D，作DF⊥AC交AC于F，在BC的延长线上截取CE＝AD，连接DE交AC于G，则FG的值为_____．