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规律发现：
在数轴上
（1）点M表示的数是2，点N表示的数是8，则线段MN的中点P表示的数为______；
（2）点M表示的数是﹣3，点N表示的数是7，则线段MN的中点P表示的数为_____；发现：点M表示的数是a，点N表示的数是b，则线段MN的中点P表示的数为______．
直接运用：
将数轴按如图1所示，从点A开始折出一个等边三角形A'B'C，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，C表示的数为x﹣1，则x值为_____，若将△A'B'C从图中位置向右滚动，则数2018对应的点将与△A'B'C的顶点_______重合．
类比迁移：
如图2：OA⊥OC，OB⊥OD，∠COD＝60°，若射线OA绕O点以每秒15°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点以每秒5°的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，三条射线同时停止运动．
①求射线OC和射线OB相遇时，∠AOB的度数；
②运动几秒时，射线OA是∠BOC的平分线？
在数轴上
（1）点M表示的数是2，点N表示的数是8，则线段MN的中点P表示的数为______；
（2）点M表示的数是﹣3，点N表示的数是7，则线段MN的中点P表示的数为_____；发现：点M表示的数是a，点N表示的数是b，则线段MN的中点P表示的数为______．
直接运用：
将数轴按如图1所示，从点A开始折出一个等边三角形A'B'C，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，C表示的数为x﹣1，则x值为_____，若将△A'B'C从图中位置向右滚动，则数2018对应的点将与△A'B'C的顶点_______重合．
类比迁移：
如图2：OA⊥OC，OB⊥OD，∠COD＝60°，若射线OA绕O点以每秒15°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点以每秒5°的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，三条射线同时停止运动．
①求射线OC和射线OB相遇时，∠AOB的度数；
②运动几秒时，射线OA是∠BOC的平分线？
已知：如图线段
，
为线段
上一点，且
．
（1）若
为中点，
为线段
上一点且
，求线段
的长．
（2）若动点
从
开始出发，以1.5个单位长度每秒的速度向
运动，到点结束；动点
从点出发以0.5个单位长度每秒的速度向运动，到点结束，运动时间为
秒，当
时，求的值．
，为线段上一点，且．（1）若
为中点，为线段上一点且，求线段的长．（2）若动点
从开始出发，以1.5个单位长度每秒的速度向运动，到点结束；动点从点出发以0.5个单位长度每秒的速度向运动，到点结束，运动时间为秒，当时，求的值．如图，
，
为其内部一条射线．
（1）若
平分
，
平分
.求
的度数；
（2）若
，射线
从
起绕着
点顺时针旋转，旋转的速度是
每秒钟，设旋转的时间为
，试求当
时的值．
，为其内部一条射线．（1）若
平分，平分.求的度数；（2）若
，射线从起绕着点顺时针旋转，旋转的速度是每秒钟，设旋转的时间为，试求当时的值．如图，
是线段
上一点，
，
、
两点分别从、
出发以
、
的速度沿直线向左运动（在线段
上，在线段
上），运动的时间为
．
（1）当
时，
，请求出的长；
（2）当
时，，请求出的长；
（3）若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
（4）在（3）的条件下，
是直线上一点，且
，求
的长．
是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．（1）当
时，，请求出的长；（2）当
时，，请求出的长；（3）若
、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；（4）在（3）的条件下，
是直线上一点，且，求的长．数轴上有
、
、
三个点对应的数分别是-22、-10、10．动点
从出发，以每秒3个单位的速度向点方向移动，设移动时间为
秒，点Q以每秒1个单位的速度向右运动，点到达点后，再立即按原速返回点．
(1)点到达点时
秒，点
向右运动的过程所表示的数为 ，点返回的过程中所表示的数为 ；
(2)当为何值时，、两点之间的距离为4．
、、三个点对应的数分别是-22、-10、10．动点从出发，以每秒3个单位的速度向点方向移动，设移动时间为秒，点Q以每秒1个单位的速度向右运动，点到达点后，再立即按原速返回点．(1)点
到达点时 秒，点向右运动的过程所表示的数为 ，点返回的过程中所表示的数为 ；(2)当
为何值时，、两点之间的距离为4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律:例如，若数轴上点A , B 表示的数分别为a , b ，则A , B 两点之间的距离AB=
，线段AB 的中点M 表示的数为
．如图，在数轴上，点A,B,C表示的数分别为-8，2，20．
（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒_______个单位长度、点C每秒______个单位长度；
（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？
（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；
① t为何值时PC=12；
② t为何值时PC=4．
，线段AB 的中点M 表示的数为．如图，在数轴上，点A,B,C表示的数分别为-8，2，20．（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒_______个单位长度、点C每秒______个单位长度；
（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？
（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；
① t为何值时PC=12；
② t为何值时PC=4．
（理解新知）如图①，已知
，在内部画射线
，得到三个角，分别为
，
，，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“二倍角线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）
（2）若
，射线为的“二倍角线”，则的大小是______；
（解决问题）如图②，己知，射线
从
出发，以
/秒的速度绕
点逆时针旋转；射线
从
出发，以
/秒的速度绕点顺时针旋转，射线，同时出发，当其中一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为
秒．
（3）当射线，旋转到同一条直线上时，求的值；
（4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出所有可能的值______．
，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“二倍角线”．（1）一个角的角平分线______这个角的“二倍角线”（填“是”或“不是”）
（2）若
，射线为的“二倍角线”，则的大小是______；（解决问题）如图②，己知
，射线从出发，以/秒的速度绕点逆时针旋转；射线从出发，以/秒的速度绕点顺时针旋转，射线，同时出发，当其中一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为秒．（3）当射线
，旋转到同一条直线上时，求的值；（4）若
，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出所有可能的值______．（背景知识）数轴上
两点表示的数分别为
，则两点之间的距离
，线段
的中点
表示的数为
．
（问题情境）已知数轴上有两点，点表示的数分别为
和40，点
以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点
以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为
秒
．
（1）运动开始前，两点之间的距离为___________，线段的中点所表示的数为__________；
（2）它们按上述方式运动，两点经过多少秒会相遇？相遇点所表示的数是多少？
（3）当为多少秒时，线段的中点表示的数为8？
（情景扩展）已知数轴上有两点，点表示的数分别为和40，若在点之间有一点
，点所表示的数为5，点
开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时，点和点分别以每秒5个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．
（4）请问：
的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
两点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．（问题情境）已知数轴上有
两点，点表示的数分别为和40，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒．（1）运动开始前，
两点之间的距离为___________，线段的中点所表示的数为__________；（2）它们按上述方式运动，
两点经过多少秒会相遇？相遇点所表示的数是多少？（3）当为多少秒时，线段
的中点表示的数为8？（情景扩展）已知数轴上有
两点，点表示的数分别为和40，若在点之间有一点，点所表示的数为5，点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时，点和点分别以每秒5个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．（4）请问：
的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．如图，点
为原点，
、
为数轴上两点，
，且
（1）、对应的数分别为________、________；
（2）点、分别以
个单位/秒和
个单位/秒的速度相向而行，则几秒后、相距
个单位长度？
（3）动点
从点出发，沿数轴正方向运动，
为线段
的中点，
为线段
的中点．在点运动的过程中，线段
的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
为原点，、为数轴上两点，，且（1）
、对应的数分别为________、________；（2）点
、分别以个单位/秒和个单位/秒的速度相向而行，则几秒后、相距个单位长度？（3）动点
从点出发，沿数轴正方向运动，为线段的中点，为线段的中点．在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．从一个内径为12cm的圆柱形茶壶向一个内径为6cm、内高为12cm的圆柱形茶杯中倒水，茶杯中的水满后，茶壶中的水下降了_______________cm．