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已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值。
，
，定义
．设
是一个6次多项式且满足
，
．用
表示
______．设整数
，对置于
个点
及点
处的卡片作如下操作：操作
：若某个点
处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点
、
、处各放一张
；操作
：若点处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张。证明：只要放置于这
个点处的卡片总数不少于
，则总能通过若干次操作，使得每个点处的卡片数均不少于。
，对置于个点及点处的卡片作如下操作：操作：若某个点处的卡片数不少于3，则可从中取出三张，在三点、、处各放一张；操作：若点处的卡片数不少于，则可从中取出张，在个点处各放一张。证明：只要放置于这个点处的卡片总数不少于，则总能通过若干次操作，使得每个点处的卡片数均不少于。平面上有12个点且任意三点不共线.以其中任意一点为始点、另一点为终点作向量且作出所有的向量，其中，三边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值.
设
为平面上
个点的集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上，
个点在圆内，个点在圆外．求证：好圆的个数与
有相同的奇偶性．
为平面上个点的集合，其中任三点不共线，任四点不共圆．一个圆被称为“好圆”是指中有三个点在圆上，个点在圆内，个点在圆外．求证：好圆的个数与有相同的奇偶性．在一个
的方格表的每个方格内填入1或
，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.
的方格表的每个方格内填入1或，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.平面上有任意三点不共线的12个点，以其中任意一点为始点，另一点为终点作向量，且作出所有这样的向量.若三边向量和为零向量，则称该三角形为“零三角形”，求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值.
如图，有三种类型的纸片(可翻转)。
证明:（1）当
时，
的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;
（2）当n为大于2的偶数时，的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片。
证明:（1）当
时，的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片;（2）当n为大于2的偶数时，
的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片。将
颗珠子分成
堆.若通过每次从其中
堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.
颗珠子分成 堆.若通过每次从其中 堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”.试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明.设n为一个正整数，三维空间内的点集S满足下述性质：
（1）.空间内不存在n个平面，使得点集S中的每个点至少在这n个平面中的一个平面上；
（2）.对于每个点
，均存在n个平面，使得
中的每个点均至少在这n个平面中的一个平面上.
求点集S中点的个数的最小值与最大值.
（1）.空间内不存在n个平面，使得点集S中的每个点至少在这n个平面中的一个平面上；
（2）.对于每个点
，均存在n个平面，使得中的每个点均至少在这n个平面中的一个平面上.求点集S中点的个数的最小值与最大值.