山东省青岛市青岛第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题

适用年级：高二
试卷号：600626

试卷类型：期中
试卷考试时间：2019/12/19

1.单选题(共9题)

已知命题P：∃x＞0，lgx≤0，则￢P是（）

A．∃x≤0，lgx＞0

B．∀x＞0，lgx＞0

C．∀x＞0，lgx＜0

D．∃x＞0，lgx≤0

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在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平四边形，设

，

，则

可表示为（）

A．

B．

C．

D．

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已知双曲线

1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆C：x²+y²﹣12x＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C的圆心，则该双曲线的方程为（）

A．	B．
C．	D．

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椭圆y²+4x²＝1的焦距为（）

A．

B．

C．2

D．

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椭圆的焦点为F₁，F₂，过点F₁作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN长为

，△MF₂N的周长为20，则椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

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抛物线x²＝4y上的点到直线y

x+5＝0的距离的最小值是（）

A．3

B．2

C．1

D．0

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若抛物线x＝﹣my²的焦点到准线的距离为2，则m＝（）

A．﹣4

B．

C．

D．±

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已知F₁，F₂是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF₁|＜|PF₂|，线段PF₁的垂直平分线经过点F₂，若椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，则

的最小值为（）

A．2

B．﹣2

C．6

D．﹣6

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已知直线l：y＝k（x﹣1）（k＜0）与抛物线C：y²＝﹣4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点且满足|AF|＝2|BF|，则k的值是（）

A．

B．

C．

D．﹣2

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2.多选题(共3题)

10.

（多选题）给出下列选项中，能成为x＞y充分条件的是（）

A．xt²＞yt²

B．（x，y）是曲线x³﹣y³﹣x²＝1上的点

C．

D．（x，y）是双曲线x²﹣y²＝1上的点

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11.

下列说法正确的是（）

A．椭圆

1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为

B．过双曲线

1焦点的弦中最短弦长为

C．抛物线y²＝2px上两点A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），则弦AB经过抛物线焦点的充要条件为x₁x₂

D．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切

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12.

（多选题）若方程

所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）

A．若1＜t＜5，则C为椭图

B．若t＜1．则C为双曲线

C．若C为双曲线，则焦距为4

D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5

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3.填空题(共4题)

13.

若“∃x₀∈[﹣4，﹣2]，

m”是真命题，则实数m的取值范围为_____．

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14.

双曲线C：

1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂（|F₁F₂|＝2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F₁PF₂的面积为a²，则C的离心率为_____．

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15.

卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F₁（﹣c，0），F₂（c，0）是平面内的两个定点，|PF₁|•|PF₂|＝a²（a是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a＝c，则曲线过原点；③若0＜a＜c，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____．

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16.

设A，B分别是直线y＝2x和y＝﹣2x上的动点，满足|AB|＝4，则A的中点M的轨迹方程为_____．

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4.解答题(共7题)

17.

已知p：方程x²+y²﹣4x+m²＝0表示圆：q：方程

1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．

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18.

已知A＝{x|x²﹣4ax+3a²＞0，a＞0}，B＝{x|x²﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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19.

已知点P到直线y＝﹣4的距离比点P到点A（0，1）的距离多3．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标：若不存在，请说明理由.

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20.

已知椭圆C：

的焦距为

，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．

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21.

已知点F为抛物线C：y²＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．

（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；
（2）若

，

，证明：λ+μ为定值．

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22.

如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．

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23.

已知椭圆C₁：