（1）小河的同旁有甲、乙两个村庄（左图），现计划在河岸AB上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题。(保留作图痕迹)
①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？
（2）如图，作出△ABC关于直线l的对称图形；
①如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸AB上的何处？
②如果要求建造水泵站，供水管道使用建材最省，水泵站N又应建在河岸AB上的何处？
（2）如图，作出△ABC关于直线l的对称图形；
下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图 1，线段a 和线段b．
求作：△ABC，使得AB = AC，BC = a，BC 边上的中线为b．
作法：如图，
① 作射线BM，并在射线BM 上截取BC = a；
② 作线段BC 的垂直平分线PQ，PQ 交BC 于D；
③ 以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A；
④ 连接AB 和AC．
则△ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC = a，AD = b．
∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，
∴ AB = AC（ ）（填依据）．
又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D，
∴ BD=CD．（ ）（填依据）．
∴ AD 为BC 边上的中线，且AD = b．
已知：如图 1，线段a 和线段b．
求作：△ABC，使得AB = AC，BC = a，BC 边上的中线为b．
作法：如图，
① 作射线BM，并在射线BM 上截取BC = a；
② 作线段BC 的垂直平分线PQ，PQ 交BC 于D；
③ 以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A；
④ 连接AB 和AC．
则△ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC = a，AD = b．
∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，
∴ AB = AC（ ）（填依据）．
又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D，
∴ BD=CD．（ ）（填依据）．
∴ AD 为BC 边上的中线，且AD = b．
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t＝_____时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形．
已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘，
（1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹)
（2）若BD=3，求BC的长.
（1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹)
（2）若BD=3，求BC的长.
如图，Rt△ABC中,∠C=90°.
（1）作∠BAC的平分线，交的BC于点D；（要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若AB=5，BC=4，求点D到边AB的距离。
（1）作∠BAC的平分线，交的BC于点D；（要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若AB=5，BC=4，求点D到边AB的距离。
教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为 ．
如图，在
中，
，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N,作直线MN，交
于点
，交
于点
．已知∠C=32°，则∠BAE的度数为________度．
中， ，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，四弧交于两点M、N,作直线MN，交于点，交于点．已知∠C=32°，则∠BAE的度数为________度．如图，有
、
、
三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
、、三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）| A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 |
| B．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 |
| C．在AC、BC两边高线的交点处 |
| D．在AC、BC两边中线的交点处 |
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝6cm，斜边BC上的中线与一腰的垂直平分线相交于点E，则点E到三角形三个顶点的距离是___．