已知动圆恒过点，且与直线：相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）探究在曲线上，是否存在异于原点的两点，，当时，直线恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.

已知动点到轴的距离比它到点的距离少1.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，求的面积.

甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大，求的轨迹.甲同学的解法是：解：设的坐标是，则根据题意可知
，化简得；①当时，方程可变为；②这表示的是端点在原点、方向为轴正方向的射线，且不包括原点；③当时，方程可变为；④这表示以为焦点，以直线为准线的抛物线；⑤所以的轨迹为端点在原点、方向为轴正方向的射线，且不包括原点和以为焦点，以直线为准线的抛物线. 乙同学的解法是：解：因为动点到的距离比到轴的距离大. ①如图，过点作轴的垂线，垂足为. 则.设直线与直线的交点为，则； ②即动点到直线的距离比到轴的距离大；③所以动点到的距离与到直线的距离相等；④所以动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线；⑤甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），他的解答过程是从_____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）.

已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.