- 数与式
- 方程与不等式
- 函数
- 图形的性质
- 连接两点作辅助线
- 全等三角形——倍长中线模型
- 全等三角形——旋转模型
- 全等三角形——垂线模型
- + 全等三角形——其他模型
- 证一条线段等于两条线段和（差）
- 图形的变化
- 统计与概率
- 观察、猜想与证明
- 实践与应用（暂存）
中，
是
的外角平分线，
是
的任意一点，则（ ）
中，
，
平分
.
时，求证：
.
时，
应满足什么条件时，等式如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）求证：△ABD≌△ACD．
（2）求∠ADE的度数．
（3）试猜想线段DE，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.
（2）如图a，在△ABC中, ∠ACB=
，∠A=
，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.
（3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.
（2）如图a，在△ABC中, ∠ACB=
，∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明. （3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.
综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知
、
均为锐角三角形，且
，
，
.
求证：
.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知
、均为锐角三角形，且，，.求证：
.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边
，如图1，并在边
上任意取了一点
（点不与点
、点
重合），过点作
交
于点
，延长
到
，使得
，连接
交于点
.
（1）若
，求
的长度；
（2）如图2，延长
到
，再延长
到
，使得
，连接
，
，求证：
.
，如图1，并在边上任意取了一点（点不与点、点重合），过点作交于点，延长到，使得，连接交于点.（1）若
，求的长度；（2）如图2，延长
到，再延长到，使得，连接，，求证：.定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形
中，
，
，
，过点
的直线
交
边于点
．点
在直线上，且
．
（1）若
，点在
延长线上．
① 当
，点恰好为
中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;
② 如图2，若
，图中是否存在“半角三角形”（△
除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图3，若
，保持
的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出
，
，
满足的数量关系：______．
中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．（1）若
，点在延长线上． ① 当
，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;② 如图2，若
，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；（2）如图3，若
，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______．（阅读理解）
已知：如图，等腰直角三角形
中，
，
是
平分线，交
边于点
.
求证：
.
证明：在
上截取
，连接
，
则由已知条件易知：
.
∴
，
又∵
，∴
是等腰直角三角形，
∴
∴
.
（数学思考）
现将原题中的“是平分线，交边于点”换成“是的外角平分线，交
边的延长线于点”，如图，其他条件不变，请你猜想线段
之间的数量关系，并证明你的猜想. 
已知：如图，等腰直角三角形
中，，是平分线，交边于点. 求证：
. 证明：在
上截取，连接，则由已知条件易知：
. ∴
，又∵
，∴是等腰直角三角形，∴
∴. （数学思考）
现将原题中的“
是平分线，交边于点”换成“是的外角平分线，交边的延长线于点”，如图，其他条件不变，请你猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想. 
中，
，
是
延长线上一点，点
在
上，且
，请判断并写出
与
之间的关系，并进行证明. 