已知数列的前n项和为且，且，数列满足且．
（I）求数列的通项公式；
（II）求证：数列为等比数列;
（III）求数列前项和的最小值．

已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求的取值范围.

已知数列具有性质：对任意，，与两数至少有一个属于．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．
（Ⅱ）求证：．
（Ⅲ）求证：．

若存在常数k（k∈N * , k≥2）、d、t（d , t∈R），使得无穷数列 {a_n }满足a_{n +1}，则称数列{a_n }为“段差比数列”，其中常数k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {b_n }为“段差比数列”．
（1）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、d 、t ．若 {b_n }是等比数列，求d 、t 的值；
（2）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n项和为S_3n ．若不等式S_3n≤ λ⋅ 3ⁿ⁻¹对n ∈N *恒成立，求实数λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {b_n }，对任意正整数n 都有b_n+6  = b_n，若存在，写出所有满足条件的 {b_n }的段长k 和段比t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．

已知数列的首项的前项和为．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：对任意的
（3）证明：