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题干
已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项
，若
，则称新数列
为的长度为
的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为
的递增子列的末项的最小值为
，长度为
的递增子列的末项的最小值为
.若
，求证：
；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为
的递增子列末项的最小值为
，且长度为末项为的递增子列恰有
个
，求数列的通项公式．
，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列
的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证：；（Ⅲ）设无穷数列
的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．答案(点此获取答案解析）
中，已知
，
．
的值，并猜想
的表达式．
满足
．
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
的前
项和为
，若
．
.
及
；
与
的大小，并用数学归纳法证明.