如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，CN平分.

（1）求证：.
（2）在第（1）题中，如果M不是BC边的中点，而是上面任意一点，那么结论是否仍成立？请证明你的结论.

如图，正方形中，点为射线上一点，，交的延长线于点，若，则______

如图，在中，，，，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则______．

已知，如图，在中，，是的平分线，的垂直平分线分别交，，于点，，．求证：四边形是正方形．

（探索发现）
如图①，将沿中位线折叠，使点的对应点落在边上，再将分别沿直线和直线折叠，使得、的对应点恰好落在点处，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，请判断四边形的形状.小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形，并展示了如下的证明方法：
证明：∵是的中位线，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∴______，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵______，
∴四边形是矩形.

（1）请补全小刚的证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段、、之间的数量关系：______；
（理解运用）
（3）如图②，在四边形中，，，，，，点为边的中点，把四边形折叠成如图2所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在线段上的点处，求的长；
（拓展迁移）
如图③，在四边形中，，，，，，沿直线折叠四边形，使得点与点重合，点落在边的点处，点为上一点，再沿直线折叠四边形，此时点与点恰好重合，得到新的四边形.
（4）判断四边形的形状，并说明理由.