如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上的动点，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M，连接OM．
（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）求证：AM⊥DF；
（3）当CD=AF时，试判断△MOF的形状，并说明理由．

小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结E

A． （探究发现） 在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______． （拓展思考） 在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论； （创新应用） 若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

正方形中，将一个直角三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与边交于点（点不与点和点重合），另一条直角边与边的延长线交于点．
如图①，求证：；
如图②，此直角三角板有一个角是，它的斜边与边交于，且点是斜边的中点，连接，求证：； 
在的条件下，如果，那么点是否一定是边的中点？请说明你的理由．

（探索发现）
如图①，将沿中位线折叠，使点的对应点落在边上，再将分别沿直线和直线折叠，使得、的对应点恰好落在点处，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，请判断四边形的形状.小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形，并展示了如下的证明方法：
证明：∵是的中位线，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∴______，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵______，
∴四边形是矩形.

（1）请补全小刚的证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段、、之间的数量关系：______；
（理解运用）
（3）如图②，在四边形中，，，，，，点为边的中点，把四边形折叠成如图2所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在线段上的点处，求的长；
（拓展迁移）
如图③，在四边形中，，，，，，沿直线折叠四边形，使得点与点重合，点落在边的点处，点为上一点，再沿直线折叠四边形，此时点与点恰好重合，得到新的四边形.
（4）判断四边形的形状，并说明理由.

已知正方形 中，点、、、分别在边、、、上，“爱琢磨”学习小组的小明说“若，则”，小红说“若，则”．则他们的说法（ ）

A．小明正确

B．小红正确

C．都正确

D．都不正确