如图：正方形ABCD中，以AB为边，在正方形内作等边△ABE，△ABE周长为15，点P为对角线AC上一动点，则PD+PE最小值为____.

如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______.

如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为 ．

如图，正方形中边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接,以为边向右侧作等边,连接,则的最小值为__________．

如图1，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四个顶点分别在l₁，l₂，l₃，l₄上，EG过点D且垂直l₁于点E，分别交l₂，l₄于点F，G，EF=DG=1，DF=2．
（1）AE=__________，正方形ABCD的边长=__________；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′、C′分别在直线l₂，l₄上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，直接写出菱形AB′C′D′的边长为__________．