已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内接于矩形，与轴交于点，点是半圆上异于，的任意一点.当点位于点处时，的面积最大.

（1）求曲线的方程；
（2）连，分别交于点，，求证：为定值.

在平面直角坐标系中，满足，设点的轨迹为，从上一点向圆作两条切线，切点分别为，且.
（1）求点的轨迹方程和；
（2）当点在第一象限时，连接切点，分别交轴于点，求面积最小时点的坐标.

（1）已知点A，B的坐标分别为（3，0），（-3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-2，求动点P的轨迹方程．
（2）设P（x，y），直线l₁：x+y=0，l₂：x-y=0．若点P到l₁的距离与点P到l₂的距离之积为2，求动点P的轨迹方程．

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为；
（1）求轨迹的方程；
（2）求定点到轨迹上任意一点的距离的最小值；
（3）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，若点在矩形区城内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败，已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进.

（1）如图建系，求的轨迹方程；
（2）记与的夹角为，，如何设计的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？
（3）若与的夹角为，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度，才能挑战成功？