如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）
A．（ ）6 | B．（）7 | C．（ ）6 | D．（）7 |
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（深入研究）
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ．（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
（初步应用）
（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，AC＝AD，且AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
（深入研究）
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系﹣﹣﹣几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程．
命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知： ．
求证： ．
证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC．
∵ ，
，
，
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC＝∠CAB ．
又∠BDC＞∠CAB ．
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的．
∴假设不成立，即AB＝AC．
命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知： ．
求证： ．
证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC．
∵ ，
，
，
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC＝∠CAB ．
又∠BDC＞∠CAB ．
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的．
∴假设不成立，即AB＝AC．
阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA．求证：AD＝AB+CD．
小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、B重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．
小明经探究发现，在AD上截取AF＝AB，连接EF（如图2），从而可证△AEF≌△AEB，使问题得到解决．
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D为边AC上任意一点（不与点A、B重合），以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．过点E作BE⊥EG交BA的延长线于点G，过点D作DF⊥BD，交BC于点F，连接FG，猜想EG、DF、FG之间的数量关系，并证明．
课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的
，
，
满足的数量关系是_____. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知
，
，
，则△ABC的面积是_____.
，，满足的数量关系是_____. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知，，，则△ABC的面积是_____.观察下列等式：
①
②
③
④
……
（1）请按以上规律写出第⑤个等式：________；
（2）猜想并写出第n个等式：________；
（3）请证明猜想的正确性.
①
②
③
④
……
（1）请按以上规律写出第⑤个等式：________；
（2）猜想并写出第n个等式：________；
（3）请证明猜想的正确性.
阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘
记为
，如
，此时，3叫做以2为底8的对数，记为
，即
．
一般地，若
（
且
，
），则n叫做以a为底b的对数，记为
，即
．如
，则4叫做以3为底81的对数，记为
，即
．
（1）计算下列各对数的值：
________，
________，
________；
（2）通过观察（1）中三数
、
、
之间满足的关系式是________；
（3）拓展延伸；下面这个一般性的结论成立吗？我们来证明
（且，
，
）
证明：设
，
，
由对数的定义得：
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
（且，，）.
（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？
（且，，）.
（5）计算：
的值为________________.
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘
记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．一般地，若
（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．（1）计算下列各对数的值：
________，________，________；（2）通过观察（1）中三数
、、之间满足的关系式是________；（3）拓展延伸；下面这个一般性的结论成立吗？我们来证明
（且，，）证明：设
，，由对数的定义得：
，，∴
，∴
，又∵
，，∴
（且，，）.（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？
（且，，）.（5）计算：
的值为________________.
已知：
，
.设
.
（1）计算
______，
______，
______，
______；
（2）试写出
、
、
三者之间的关系______；
（3）根据以上得出的结论，求
.
，.设.（1）计算
______，______，______，______；（2）试写出
、、三者之间的关系______；（3）根据以上得出的结论，求
.（2017辽宁省辽阳市）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是 ；
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为 ．
（1）BE与MN的数量关系是 ；
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若CB=6，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为 ．