如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）填空：①当t为　  　s时，四边形ACFE是菱形；②当t为　  　s时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍．

我们定义：
如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连结.当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线，叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”.

特例感知：
（1）在图2、图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”.
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______；
②如图3，当，时，则长为______.
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.
拓展应用：
（3）如图4，在四边形中，，，，，.试在四边形内部作、，使得是的“旋补三角形”，并求出的“旋补中线”的长.

如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S_△ABG＝S_△FGH；④AG+DF＝FG．则下列结论正确的有(　　)

A．①②④

B．①③④

C．②③④

D．①②③

如图，矩形中，，，是边上的一点，且，点在矩形所在的平面中，且，则的最大值是_________．

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒．

（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由．