如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是___________

在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0），将线段AB先向上平移个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，其中点A的对应点是点

A．连接AC，BD，C

B． （1）根据题意画出图形，直接写出C，D坐标； （2）连接AD，线段AD与轴交于点E，请用已经学过的知识求出E点的坐标（提示：请注意四边形ABDC的形状）； （3）P(m，n)是坐标系内任一点，且，连接PC，PD，PO，PB，当，时，这样的点P存在吗？有几个？并求出点P的坐标．

已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°
问题探究：
（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为    ．
（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．
问题解决：
（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B₁是点B关于PQ的对称点．
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B₁落在OA上，求点B₁的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B₁作B₁F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点

A．若B1E： B1F=1：3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围．

实践操作：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考：
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）
①当点P与点A重合时，∠DEF＝　  　°；当点E与点A重合时，∠DEF＝　  　°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），
求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝3.5时的菱形EPFD的边长．

深入探究
（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值　  　．
拓展延伸
（3）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．