如图，边长为的正方形中，对角线相交于点，点是中点，交于点，于点，交于点．

（1）求证：≌；
（2）求线段的长．

（探索发现）
如图①，将沿中位线折叠，使点的对应点落在边上，再将分别沿直线和直线折叠，使得、的对应点恰好落在点处，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，请判断四边形的形状.小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形，并展示了如下的证明方法：
证明：∵是的中位线，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∴______，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵______，
∴四边形是矩形.

（1）请补全小刚的证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段、、之间的数量关系：______；
（理解运用）
（3）如图②，在四边形中，，，，，，点为边的中点，把四边形折叠成如图2所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在线段上的点处，求的长；
（拓展迁移）
如图③，在四边形中，，，，，，沿直线折叠四边形，使得点与点重合，点落在边的点处，点为上一点，再沿直线折叠四边形，此时点与点恰好重合，得到新的四边形.
（4）判断四边形的形状，并说明理由.

如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF

（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）试探究：当AB：BC＝　  ，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

（问题情境）
如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（探究展示）
（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．
（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是正方形AD、CD边上的点，且∠EBF=45°，对角线AC交BE,BF于M,N，对于以下结论，正确的是（   ）①AE+CF=FE②△ABE≌△BCF③AM²+CN²=MN²④△EFD的周长等于2AB

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④