如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与.

(1)求证：.
(2)求证：.
(3)如图2，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论.

（1）如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点以及点均在格点上.
①直接写出的长为______；
②画出以为边，为对角线交点的平行四边形.
（2）如图2，画出一个以为对角线，面积为6的矩形，且和均在格点上（、、、按顺时针方向排列）.
（3）如图3，正方形中，为上一点，在线段上找一点，使得.（要求用无刻度的直尺画图，不准用圆规，不写作法，保留画图痕迹）

如图，是的中线，过点、分别作、的平行线，两平行线相交于点.

（1）求证：；
（2）当、满足什么条件时，
①四边形是矩形？请说明理由；
②四边形是菱形？请直接写出结论，不必说明理由；
③四边形是正方形？请直接写出结论，不必说明理由.

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．

（探索发现）
如图①，将沿中位线折叠，使点的对应点落在边上，再将分别沿直线和直线折叠，使得、的对应点恰好落在点处，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，请判断四边形的形状.小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形，并展示了如下的证明方法：
证明：∵是的中位线，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∴______，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵______，
∴四边形是矩形.

（1）请补全小刚的证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段、、之间的数量关系：______；
（理解运用）
（3）如图②，在四边形中，，，，，，点为边的中点，把四边形折叠成如图2所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在线段上的点处，求的长；
（拓展迁移）
如图③，在四边形中，，，，，，沿直线折叠四边形，使得点与点重合，点落在边的点处，点为上一点，再沿直线折叠四边形，此时点与点恰好重合，得到新的四边形.
（4）判断四边形的形状，并说明理由.