2020届江苏省高三下学期2月模拟数学试题

适用年级：高三
试卷号：657032

试卷类型：月考
试卷考试时间：2020/3/27

1.填空题(共8题)

已知集合A={﹣2,1,

},B={x|x²＞2},则A∩B=_____.

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在平面直角坐标系xOy中,异于原点的A､B､C三点满足OA²+2OB²+3OC²=6,则△ABC面积的最大值为_____.

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已知某四面体A﹣BCD的两个面ABC和BCD均是边长为2的正三角形,且AD=1,则该四面体的体积为_____.

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在平面直角坐标系xOy中,A的坐标为(2,0),B是第一象限内的一点,以C为圆心的圆经过O､A､B三点,且圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则直线PB的方程为_____.

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采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取100名医生支援湖北,已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40,则鼓楼医院的医生总人数为_____.

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已知某厂生产的6个网球中有2个是劣等品,且劣等品只要被检测就一定会被发现,现从这6个网球中任取3个进行检测,则检测出劣等品的概率是_____.

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执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.

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设i为虚数单位,若复数满足

,则

的虚部为_____.

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2.解答题(共10题)

已知函数

且a≠1,函数

.
（1）判断并证明f(x)和g(x)的奇偶性;
（2）求g(x)的值域;
（3）若∀x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范围.

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10.

已知x,y>0,且xy=4,证明

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11.

如图所示是一个上下底面均是边长为2的正三角形的直三棱柱,且该直三棱柱的高为4,D为AB的中点,E为CC₁的中点.

（1）求DE与平面ABC夹角的正弦值;
（2）求二面角A﹣A₁D﹣E的余弦值.

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12.

将正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁沿三角形A₁BC₁所在平面削去一角可得到如图所示的几何体.

（1）连结BD,BD₁,证明:平面BDD₁⊥平面A₁BC₁;
（2）已知P,Q,R分别是正方形ABCD､CDD₁C₁､ADD₁A₁的中心(即对角线交点),证明:平面PQR∥平面A₁BC₁.

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13.

曲线C的参数方程为

,直线l的参数方程为

.
（1）求曲线C的一般方程;
（2）求直线l被曲线C截得的弦长.

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14.

已知椭圆

1(a>b>0)的左右焦点分别为F₁､F₂,左右顶点分别为A､B,上顶点为T,且△TF₁F₂为等边三角形.
（1）求此椭圆的离心率e;
（2）若直线y=kx+m(k>0)与椭圆交与C､D两点(点D在x轴上方),且与线段F₁F₂及椭圆短轴分别交于点M､N(其中M､N不重合),且|CM|=|DN|.
①求k的值;
②设AD､BC的斜率分别为k₁,k₂,求

的取值范围.

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15.

在平面直角坐标系xOy中,已知点A₁,A₂,…,A_n,…⇌B₁,B₂,…,B_n,…均在抛物线x=y²上,线段A_nB_n与x轴的交点为H_n.将△OA₁B₁,△H₁A₂B₂,…,△H_nA_n₊₁B_n₊₁,…的面积分别记为S₁,S₂,…,S_n₊₁,….已知上述三角形均为等腰直角三角形,且它们的顶角分别为O,H₁,…,H_n,….

（1）求S₁和S₂的值;
（2）证明:n≤s_n≤n².

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16.

某工厂打算设计一种容积为2m³的密闭容器用于贮藏原料,容器的形状是如图所示的直四棱柱,其底面是边长为x米的正方形,假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计.

（1）请你确定x的值,使得该容器的外表面积最小;
（2）若该容器全部由某种每平方米价格为100元的材料做成,且制作该容器仅需将购置的材料做成符合需要的矩形,这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面(假设这一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计),再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器,焊接费用是每米500元,试确定x的值,使得生产每个该种容器的成本(即原料购置成本+焊接费用)最低.

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17.

已知A