2019年北京市高考数学试卷（理科）

适用年级：高三
试卷号：636244

试卷类型：高考真题
试卷考试时间：2019/6/10

1.单选题(共7题)

设点A，B，C不共线，则“

与

的夹角为锐角”是“

”的

A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

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在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．10^10.1

B．10.1

C．lg10.1

D．10–^10.1

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若x，y满足

，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7

B．1

C．5

D．7

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数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：

就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是

A．①

B．②

C．①②

D．①②③

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已知直线l的参数方程为

（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是

A．

B．

C．

D．

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执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A．1

B．2

C．3

D．4

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已知复数z=2+i，则

A．

B．

C．3

D．5

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2.填空题(共6题)

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

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设函数f（x）=e^x+ae^−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

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10.

函数f(x)=sin²2x的最小正周期是__________．

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11.

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=−3，S₅=−10，则a₅=__________，S_n的最小值为__________．

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12.

某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

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13.

已知l，m是平面

外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥

；③l⊥

．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

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3.解答题(共6题)

14.

已知函数

.
（Ⅰ）求曲线

的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当

时，求证：

；
（Ⅲ）设

，记

在区间

上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

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15.

在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=

．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

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16.

如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且

．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且

．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

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17.

已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

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18.

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

交付金额（元）支付方式	（0,1000]	（1000,2000]	大于2000
仅使用A	18人	9人	3人
仅使用B	10人	14人	1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

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19.

已知数列