2020届广西柳州高级中学高三下学期开学考试数学（理）试题

适用年级：高三
试卷号：598293

试卷类型：开学考试
试卷考试时间：2020/2/24

1.单选题(共7题)

设

是两条不同的直线，

是两个不同的平面，则

的一个充分条件是（）

A．存在两条异面直线

，

B．存在一条直线

，

C．存在一条直线

，

D．存在两条平行直线

，

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已知

是抛物线

的焦点，

是

轴上一点，线段

与抛物线

相交于点

，若

，则

（）

A．

B．

C．

D．1

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设双曲线

（

，

）的一条渐近线为

，且一个焦点与抛物线

的焦点相同，则此双曲线的方程为（）

A．

B．

C．

D．

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七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )

A．3600种

B．1440种

C．4820种

D．4800种

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某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是

，样本数据分组为

，

.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）

A．68

B．72

C．76

D．80

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关于圆周率

，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计

的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对

，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对

的个数m，最后根据统计个数m估计

的值．如果统计结果是

，那么可以估计

的值为（）

A．

B．

C．

D．

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设

(

为虚数单位），其中

是实数，则

等于( )

A．5

B．

C．

D．2

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2.填空题(共2题)

已知

，则函数

的最小值为_______.

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在三棱锥

中，底面为

，且

，斜边

上的高为

，三棱锥

的外接球的直径是

，若该外接球的表面积为

，则三棱锥

的体积的最大值为__________．

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3.解答题(共5题)

10.

如图，三棱锥

中，

平面

，

．

分别为线段

上的点，且

．
(1)证明：

平面

；
(2)求二面角

的余弦值．

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11.

已知定点

，

，直线

、

相交于点

，且它们的斜率之积为

，记动点

的轨迹为曲线

。
（1）求曲线

的方程；
（2）过点

的直线与曲线

交于

、

两点，是否存在定点

，使得直线

与

斜率之积为定值，若存在，求出

坐标；若不存在，请说明理由。

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12.

在直角坐标系xOy中，曲线

的参数方程为

（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

的极坐标方程为

．
（1）写出

的普通方程和

的直角坐标方程：
（2）若

与

相交于A、B两点，求

的面积．

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13.

某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：