2019年上海市松江区高三4月模拟考质量监控(二模)数学试题

适用年级：高三
试卷号：532228

试卷类型：二模
试卷考试时间：2019/11/19

1.单选题(共4题)

1.

十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数

时，关于

、

、

的方程

没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁

怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（）
①对任意正整数

，关于

、

、

的方程

都没有正整数解；
②当整数

时，关于

、

、

的方程

至少存在一组正整数解；
③当正整数

时，关于

、

、

的方程

至少存在一组正整数解；
④若关于

、

、

的方程

至少存在一组正整数解，则正整数

；

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④

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2.

如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线

等分成八个区域（不含边界），已知数列

，

表示数列

的前

项和，对任意的正整数

，均有

，当

时，点

（）

A．只能在区域②

B．只能在区域②和④

C．在区域①②③④均会出现

D．当

为奇数时，点

在区域②或④，当

为偶数时，点

在区域①或③

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3.

已知

、

、

是三条不同直线，

、

是两个不同平面，下列命题正确的是（）

A．若

，

，则

∥

B．若

，

，

∥

，则

∥

C．若

，

，

，

，

，则

D．平面

内有不共线的三点到平面

的距离相等，则

∥

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4.

过点

与双曲线

仅有一个公共点的直线有（）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

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2.填空题(共12题)

5.

已知集合

，

，则

________

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6.

已知函数

的反函数为

，则

________

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7.

若函数

有零点，则其所有零点的集合为________（用列举法表示）

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8.

若函数

的图像关于直线

对称，则正数

的最小值为________

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9.

在△

中，角

、

、

的对边分别为

、

、

，其面积

，则

________

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10.

已知等比数列

的首项为1，公比为

，

表示

的前

项和，则

_____

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11.

若

、

的方程组

有无穷多组解，则

的值为________

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12.

设不等式组

表示的可行域为

，若指数函数

的图像与

有公共点，则

的取值范围是________

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13.

在正方体

的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________

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14.

抛物线

的准线方程为__________．

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15.

如图，

是圆

上的任意一点，

、

是圆

直径的两个端点，点

在直径

上，

，点

在线段

上，若

，则点

的轨迹方程为________

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16.

若

的展开式中含有常数项，则最小的正整数

为________

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3.解答题(共5题)

17.

无穷数列

、

、

满足：

，

，

，

，记

（

表示3个实数

、

、

中的最大数）.
（1）若

，

，

，求数列

的前

项和

；
（2）若

，

，

，当

时，求满足条件

的

的取值范围；
（3）证明：对于任意正整数

、

、

，必存在正整数

，使得

，

，

.

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18.

国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入

万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员

名（

且

），调整后研发人员的年人均投入增加

%，技术人员的年人均投入调整为

万元.
（1）要使这

名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数

，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出

的范围，若不存在，说明理由.

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19.

如图，已知四棱锥

的底面

是边长为2的正方形，

底面

，

.

（1）求直线

与平面

所成的角的大小；
（2）求四棱锥

的侧面积.

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20.

把半椭圆

（

）与圆弧

（

）合成的曲线称作“曲圆”，其中

为

的右焦点，如图所示，

、

、

、

分别是“曲圆”与

轴、

轴的交点，已知

，过点

且倾斜角为

的直线交“曲圆”于

、

两点（

在

轴的上方）.

（1）求半椭圆

和圆弧

的方程；
（2）当点

、

分别在第一、第三象限时，求△

的周长

的取值范围；
（3）若射线

绕点

顺时针旋转

交“曲圆”于点

，请用

表示

、

两点的坐标，并求△

的面积的最小值.

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21.

已知复数

满足

，

的虚部为2.
（1）求复数

；
（2）设复数

、

、

在复平面上对应点分别为

、

、

，求

的值.

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试卷分析

【1】题量占比

单选题:(4道)

填空题:(12道)

解答题:(5道)
【2】：难度分析

1星难题：0

2星难题：0

3星难题：0

4星难题：0

5星难题：0

6星难题：0

7星难题：0

8星难题：0

9星难题：21