七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．下面的两幅图正方形(如图1)、“风车型”(如图2)都是由同一副七巧板拼成的，则图中正方形ABCD，EFGH的面积比为_____．

（探索发现）
如图①，将沿中位线折叠，使点的对应点落在边上，再将分别沿直线和直线折叠，使得、的对应点恰好落在点处，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形，请判断四边形的形状.小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形，并展示了如下的证明方法：
证明：∵是的中位线，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∴______，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
∵______，
∴四边形是矩形.

（1）请补全小刚的证明过程；
（2）连接，当时，直接写出线段、、之间的数量关系：______；
（理解运用）
（3）如图②，在四边形中，，，，，，点为边的中点，把四边形折叠成如图2所示的正方形，顶点、落在点处，顶点、落在线段上的点处，求的长；
（拓展迁移）
如图③，在四边形中，，，，，，沿直线折叠四边形，使得点与点重合，点落在边的点处，点为上一点，再沿直线折叠四边形，此时点与点恰好重合，得到新的四边形.
（4）判断四边形的形状，并说明理由.

如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB=5，AE=1，CF=2，则BG=_____．

已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____．