已知水平放置的底面半径为20，高为100的圆柱形水桶，水桶内水面高度为50cm，现将一个高为10圆锥形铁器完全没入水桶中（圆锥的底面半径小于20）,此时水桶的水面高度上升了2.5,则此圆锥形铁器的侧面积为_______ .（忽略水桶壁的厚度）

一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
（Ⅰ）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
（Ⅱ）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．
（1）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；
（2）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．

如图，在四棱锥中，平面，，．

（1）若为的中点,求证:平面；
（2）求三棱锥的体积.

若正方体的外接球的表面积为，则该正方体的表面积为__________．

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若的面积为,求三棱锥的体积.