设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.

在中，已知，，，是边上一点，将沿折起，得到三棱锥．若该三棱锥的顶点在底面的射影在线段上，设，则的取值范围为______.

如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．

（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求二面角E-AB-C的正切值．

在边长为的菱形中，，现沿对角线把折起，折起后使的余弦值为.
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求折起后与平面所成角的一个三角函数值.

现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．