已知数列满足，，且，若函数，记，则数列的前9项和为______.

已知为正整数，数列满足，，设数列满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求实数的值；
（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

已知{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，
（1）求数列{a_n}的首项a₁及公差为d
（2）证明：数列为等差数列并求其前n项和T_n．

已知数列中，，．设．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值．

若存在常数k（k∈N * , k≥2）、d、t（d , t∈R），使得无穷数列 {a_n }满足a_{n +1}，则称数列{a_n }为“段差比数列”，其中常数k、d、t 分别叫做段长、段差、段比．设数列 {b_n }为“段差比数列”．
（1）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、d 、t ．若 {b_n }是等比数列，求d 、t 的值；
（2）已知 {b_n }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1，其前 3n项和为S_3n ．若不等式S_3n≤ λ⋅ 3ⁿ⁻¹对n ∈N *恒成立，求实数λ 的取值范围；
（3）是否存在首项为b，段差为d（d ≠ 0 ）的“段差比数列” {b_n }，对任意正整数n 都有b_n+6  = b_n，若存在，写出所有满足条件的 {b_n }的段长k 和段比t 组成的有序数组 (k, t )；若不存在，说明理由．