做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为____.

如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．

现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？

一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高为1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物，需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不小于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．
（1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和；
（2）为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？

某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的)和两个半圆构成，设，且.

（1）若内圈周长为，则取何值时，矩形的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为，则取何值时，内圈周长最小？