为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠（如图（1）建立平面直角坐标系），新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？

（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠（如图（2）建立平面直角坐标系），使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD， CD 两段，其中两固定点A，B 间距离为1 米，AB 与杆 AC 的夹角为60° ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设 ÐADB = a ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.
（1）求S关于a 的函数表达式，并求出a的取值范围；
（2）问 段多长时，S最小？

用一根长为分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是分米,用表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．
（1）试求函数的解析式及其定义域；
（2）当该框架的底面宽取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．

如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．