湖南省长沙市长郡中学2018届高三第四次月考数学（理）试题

适用年级：高三
试卷号：633170

试卷类型：月考
试卷考试时间：2017/12/15

1.单选题(共8题)

1.

已知集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

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2.

已知函数

，若

有两个零点

，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

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3.

已知

，

是平面内夹角为

的两个单位向量，若向量

满足

，则

的最大值为

A．1

B．

C．

D．2

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4.

椭圆

的左焦点为

，上顶点为

，右顶点为

，若

的外接圆圆心

在直线

的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

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5.

若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个.

A．71

B．66

C．59

D．53

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6.

在

展开式中，二项式系数的最大值为

，含

项的系数为

，则

（）

A．

B．

C．

D．

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7.

一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )

A．乙

B．甲

C．丁

D．丙

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8.

执行如图的程序框图，则输出的

值为（）

A．

B．

C．

D．

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2.填空题(共3题)

9.

已知函数

，若正实数

，

满足

，

则的最小值为__________．

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10.

已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，

，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.

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11.

已知

为坐标原点，

为抛物线

的焦点，若抛物线与直线

在第一、四象限分别交于

两点，则

的值为__________．

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3.解答题(共5题)

12.

已知函数

，

.
（1）若函数

存在与直线

垂直的切线，求实数

的取值范围；
（2）设

，若

有极大值点

，求证：

.

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13.

在

中,

为

上的点,

为

上的点,且

.
（1）求

的长;
（2）若

,求

的余弦值.

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14.

如图1，在矩形ABCD中，

，点

分别在边

上，且

，

交

于点

．现将

沿

折起，使得平面

平面

，得到图2．
（Ⅰ）在图2中，求证：

；
（Ⅱ）若点

是线段

上的一动点，问点

在什么位置时，二面角

的余弦值为

．

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15.

已知椭圆

的两个焦点分别为

,以椭圆短轴为直径的圆经过点

.
(1)求椭圆

的方程;
(2)过点

的直线

与椭圆

相交于

两点,设点

,直线

的斜率分别为

,问

是否为定值?并证明你的结论.

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16.

现有4名学生参加演讲比赛，有

两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择

题目，掷出其他的数则选择

题目.
（1）求这4个人中恰好有1个人选择

题目的概率；
（2）用

分别表示这4个人中选择

题目的人数，记

，求随机变量

的分布列与数学期望

.

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试卷分析

【1】题量占比

单选题:(8道)

填空题:(3道)

解答题:(5道)
【2】：难度分析

1星难题：0

2星难题：0

3星难题：0

4星难题：0

5星难题：0

6星难题：0

7星难题：0

8星难题：0

9星难题：16