设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上，将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上，

在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

在名学生中，已知任意三人中有两人互相认识，任意四人中有两人互相不认识，则的最大值为______.

圆周上分布着2014个点,将其任意染成红、黄两色.若从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一位置,所经过的点(含自身)红点个数恒大于黄点个数,则称该点为“优点”.为确保圆周上至少有一个优点,求圆周上黄点个数的最大值.

四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是______.