如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化，其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直线上，点在圆周上，在边上，且，设.

（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）求符合园林局要求的的余弦值.

2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设.

 当 时,求喷泉的面积;
(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.

如图，某城市有一块半径为的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点，，在半圆上选定一点，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为．设．

（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积取得最大值．

要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,当其体积最大时，底面半径和高分别为多少？

如图, 在实施棚户区改造工程中，某居委会决定对地段上的危旧房进行推平改建，拟在地段上新建一幢居民安置楼, 在安置楼正南面的地段上建一个活动中心，活动中心的侧面图由两部分构成, 下部分是矩形, 上部分是以为直径的半圆,活动中心的规划设计需满足以下要求：①米； ②；③当地“最斜光线”与水平线的夹角满足,活动中心在当地“最斜光线”照射下落在安置楼上的影长不超过米.

（1）若米, 求其前后宽度的最大值；
（2）设活动中心侧面的面积为,活动中心的 “美观系数”,那么在用足空间的前提下, 当门面高为多少米时, 可使得“美观系数”最大？
(参考数据：计算中取)