四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
如图，求证：矩形是正方形；
若，，求的长度；
当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：
（提出问题）
（1）如图1，在△ABC中，E是BC的中点，P是AE的中点，就称CP是△ABC的“双中线”，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．则CP＝　  　．
（探究规律）
（2）在图2中，E是正方形ABCD一边上的中点，P是BE上的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”，若AB＝4．则AP的长为　  　（按图示辅助线求解）；
（3）在图3中，AP是矩形ABCD的“双中线”，若AB＝4，BC＝6，请仿照（2）中的方法求出AP的长，并说明理由；
（拓展应用）
（4）在图4中，AP是平行四边形ABCD的“双中线”，若AB＝4，BC＝10，∠BAD＝120°．求出△ABP的周长，并说明理由？

如图，中，是角平分线，交A于点，交于点.
（1）试判断四边形的形状；
（2）当满足______条件时，；当满足_____条件时，.

如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP = 3，PE⊥PB交CD于点E，则PE =____________.