对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.
（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.

武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.

若数列满足（；，），称数列为数列，记为其前项和.
（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；
（Ⅱ）若，，证明：若数列是递增数列，则；反之，若，则数列是递增数列；
（Ⅲ）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．

某布匹批发市场一布商在10月20日购进4000匹布，21日开始销售.每天他都销售前一天库存布匹数目的20%后,再新进1000匹新布入库,设天后销售及进货后库存布匹的数目为
(1)求表示
(2)从几天后开始当日销售及进货后库存布匹不少于4900匹?