如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC 的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于

A．AB=6, AC=3,求BF 的长.

(1)如图，在△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=12，BC=5，AM=AC,BN=BC,求MN的长．

(2)如图，在△ABC中，∠ACB=90⁰，AM=AC,BN=BC
当∠A=30⁰时，求∠MCN的度数。
‚当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化，如有变化，请说明理由；如不变，求∠MCN的度数．

(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC,点M、N在边AB上，且∠MCN=45⁰，试猜想线段AN、BM、MN之间的数学关系，直接写出你的结论（不要求证明）．

如图，在中，，，点是上一动点，连结，过点作，并且始终保持，连结．
（1）求证：；
（2）若平分交于，探究线段之间的数量关系，并证明．

如图，已知等边的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点.

(1)如图1，当时，若点恰好在AC边上，则的长度为　　　　；
(2)如图2，当时，若直线，则的长度为　　　　；
(3)如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线始终垂直于AC，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
(4)当时，在直线变化过程中，求面积的最大值.

操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF=BD（不需要证明）；
类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论。
③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明。