如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点坐标为，点为轴上位于点上方的一个动点，以为边向的右侧作等边，连接，并延长交轴于点.

(1)求证：；
(2)当点在运动时，是否平分？请说明理由；
(3)当点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，四边形ABCD为正方形，O为正方形ABCD对角线的交点，M是CA延长线上的一个动点（点M与点C、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE.
（1）若，求证：；
（2）用等式直接写出线段CF，AE，OE之间的数量关系，并证明．

在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）

如图，在等腰中，，在中，，与交于点。

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，为延长线上一点，连接，若，求证：。

（1）操作发现：如图1，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接A

A．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图2，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
（3）深入探究：①如图3，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF′．探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你发现的结论。
②如图4，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．