某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低万元与技术改造投入万元之间满足：①与和的乘积成正比；②当时，，并且技术改造投入比率，为常数且．
（1）求的解析式及其定义域；
（2）求的最大值及相应的值．

随着我国居民生活水平的不断提高，汽车逐步进入百姓家庭，但随之面来的交通拥堵和交通事故时有发生，给人民的生活也带来了诸多不便．某市为了确保交通安全．决定对交通秩序做进步整顿，对在通路上行驶的前后相邻两机动车之间的距离d（米）与机动车行驶速度v（千米/小时）做出如下两条规定：
①av²；
②．（其中a是常量，表示车身长度，单位：米）
（1）当时．求机动车的最大行驶速度；
（2）设机动车每小时流量Q，问当机动车行驶速度v≥30（千米/小时）时，机动车以什么样的状态行驶，能使机动车每小时流量Q最大？并说明理由．（机动车每小时流量Q是指每小时通过观测点的车辆数）

上海某玩具厂生产万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为元,且,而每万套售出价格为元,其中,问:
（1）该玩具厂生产多少万套吉祥物时,使得每万套成本费用最低？
（2）若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家所获利润最大?

近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为，火箭的飞行速度为，初始速度为，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设，，，是以为底的自然对数，，.
（1）如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时，求的值（精确到小数点后面1位）.
（2）如果希望达到，但火箭起飞质量最大值为，请问的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.

某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为件时，销售所得的收入为万元.
（1）该公司这种产品的年生产量为件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量的函数为，求；
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得利润最大？