已知数列

的各项均为整数,其前
n项和为

.规定:若数列

满足前
r项依次成公差为1的等差数列,从第

项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列

为“
r关联数列”.
(1)若数列

为“6关联数列”,求数列

的通项公式;
(2)在(1)的条件下,求出

,并证明:对任意

,

;
(3)若数列

为“6关联数列”,当

时,在

与

之间插入
n个数,使这

个数组成一个公差为

的等差数列,求

,并探究在数列

中是否存在三项

,

,

其中
m,
k,
p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.