如图，设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量.
（1）求的概率；
（2）求的分布列及数学期望.

某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．
请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值每组值用区间中点值代替；
企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分：质量指标值落在内的定为一等品，每件售价420元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价300元；其它的合格品定为三等品，每件售价180元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为单位：元，求X的分布列和数学期望．
表1：设备改造后样本的频数分布表．

质量指标值	频数
	1
	9
	24
	7
	8
	1

 

某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元．

（1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．

唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为.如果，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验.假设这批唐三彩的优质品概率为，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为，且各件唐三彩是否为优质品相互独立.
（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为元，求的分布列及数学期望.

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（，）
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年流入量
发电机最多可运行台数	1	2	3

 
若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？