“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：

	50岁以上	50岁以下
使用支付宝捐步	1000	1000
不使用支付宝捐步	2500	500

 
（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？
（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关．

第x天	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
步数	4000	4200	4300	5000	5500

 
（i）根据上表数据，建立关于的线性回归方程；
（ii）记由（i）中回归方程得到的预测步数为，若从5天中任取3天，记的天数为X，求X的分布列以及数学期望．
附参考公式与数据：，；K²=；

P(K2≥k0)	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

 

某学校要用甲、乙、丙三辆校车把教职工从老校区接到校本部,已知从老校区到校本部有两条公路,校车走公路①时堵车的概率为,校车走公路②时堵车的概率为p.若甲、乙两辆校车走公路①,丙校车由于其他原因走公路②,且三辆校车是否堵车相互之间没有影响.
(1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为,求走公路②堵车的概率;
(2)在(1)的条件下,求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望.

为庆祝建国70周年，校园文化节举行有奖答题活动，现有A，B两种题型，从A类题型中抽取1道，从B类题型中抽取2道回答，答对3道题获新华书店面值为15元的图书代金券，答对2道题获面值为10元的图书代金券，答对1道题获面值为5元的图书代金券，没有答对获面值为1元的图书代金券（作为鼓励）.甲同学参加此活动答对A类题的概率为，答对B类题的概率为.
（Ⅰ）求甲答对1道题的概率；
（Ⅱ）设甲参加一次活动所获图书代金券的面值为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

一组数据的最大值与最小值的差称为极差.一袋中有编号为从1到8的8个完全相同的小球，现从中随机抽取4个小球.
（Ⅰ）记取出的这组4个球的编号极差为随机变量，求的分布列与期望；
（Ⅱ）若把“取出的一组球与袋中剩下的一组球编号的极差相等”记为事件，求事件的概率.

心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；
（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：