如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N 分别是 AB、CD 的中点.

（1）求证：MN⊥CD；
（2）若 AB＝50，CD＝48，求 MN 的长.

模型发现：
同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．
因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．
特别的，当点C位于　  　时，线段BC的长取得最大值，且最大值为　  　（用含b，c的式子表示）（直接填空）
模型应用：
点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．
（1）求证：BD＝AE．
（2）线段AE长的最大值为　  　．
模型拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、Q，F分别是边 AC 、AB、BC的中点、若EF+CQ=5，则EF=________．

已知直角三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边上的中线是__________．

如图已知于A，连BC，DE，延长交于G，求证F为BC的中点