分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则（1）______；（2）如果对，恒成立，那么线段的长度的取值范围是_______.

已知等差数列的前n项和为，且，．数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．

设数列的前项和为．已知，设.
⑴ 求证：当时，为常数；
⑵ 求数列的通项公式；
⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n项的和．

对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_______，数列的前项和_______.

已知无穷数列1×2，2×3，3×4，4×5，5×6,….
（1）求这个数列的第10项和第31项.
（2）420是不是这个数列中的项？如果是，求出其为第几项．